YAZILAR Yorumlar FEEDBURNER

İNTEGRAL ALAN HESABININ İSPATI

Gönderen Harun 27 Tem 2010


Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonun altında kalan alanın bu f fonksiyonunun integrali olduğunun ispatını yapmaya çalışacağız. Yapmak neyse de normalde 4-5 dakikada anlatılacak bu ispatı yazıyla anlatması çok güç, umarım anlaşılır bir şekilde anlatabilirim.
Bu f fonksiyonu için f(8)= 35 olsun.



Şimdi bu f fonksiyonunun altında kalan alanı veren bir F fonksiyonundan bahsedelim. Ve üzerinde duralım. Bu F fonksiyonu öyle bir fonksiyon ki f’in altında kalan alanı bir şekilde bize veriyor.

Şekilden de anlaşılacağı gibi F(8)=15 y ekseninden yani x=0 dan x=8’e kadar f’in altındaki alana eşit. Hımm ilginç bir fonksiyon bu F :))))

x=5 ile x=8 arasındaki alanın şekildeki gibi bulunacağını anladığınızı umuyorum. Sonuçta oradaki toplam alan F(8) idi. x=5’e kadar ki alan F(5) olacağına göre F(8)-F(5)
Pekala bu F alan fonksiyonunu incelemeye devam edelim.



Evet bu F fonksiyonu y eksenin solunda yani x’in negatif değerlerinde, alanı değil de alanın değerinin negatif değerini veriyor. Yani bu değerler için bu fonksiyonu eksiyle çarpmalıyız.
x=-3 ten x=0’a kadar olan alan –F(-3)=11
Keşke böyle olmasaydı demeyin bunun avantajı var.



Şekilde görüldüğü gibi alan F(-1)-F(-3) yani tıpkı x’in pozitif değerlerinde olduğu gibi a ile b arasındaki alanı bulmaya çalışıyorsak a b’den büyükse F(a)-F(b) dir.
Demin söylediğim gibi y ekseninde solunda F’in değerlerinin negatif olması iyi birşey.



Var mı bir sorun anlaştık değil mi? Evet bu kadar yeter uzattık bile, artık ispata geçelim.

Harf karışıklığı için özür dilerim. Şekildeki AEFB ve CEFD olmak üzere iki dikdörtgeni görüyorsunuz. Yatay kenar uzunlukları eşit ve X-Xo dır. Dikey kenarları nedir?
AEFB’nin dikey kenarı f(x) tir.
CEFD’nin ki ise f(Xo)
Şimdi X ile Xo arasındaki f’in altında kalan alanla ilgili aşağıdaki işlemlere bakın.



Sorun yok değil mi? Her tarafın limitini alalım.

Evet ortada türev tanımı var. F(Xo) in türevi f(Xo)’dan hem büyük hem küçük eşitse
f(Xo)’a eşittir. F in türevi f ise f’in integrali F’tir.



Bizim başta uzun uzun bahsettiğimiz F alan fonksiyonu f’in integraliymiş meğer.
Eeee
Ne eeee si!
İspat tamam.
f’in altındaki alanı hesaplamak için f’in integralini almalıyız.
F(a)-F(b) dediğimiz şey aslında b den a'ya f in integraliymiş.

bkz:İNTEGRAL HACİM HESABININ İSPATI

| Bu yazıyı arkadaşına gönder

1 yorum İNTEGRAL ALAN HESABININ İSPATI

  1. Adsız dedi ki:
  2. riemann değil mi bu